ВВЕДЕНИЕ................................................................................................................... 5
ГЛАВА I. ЧИСЛЕННОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ РЕШЕНИЙ
УЛЬТРАПАРАБОЛИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ МЕТОДАМИ МОНТЕ-КАРЛО 16
§1.1. Численное моделирование решения смешанной задачи для
ультрапараболического уравнения Колмогорова................................................16
§1.2. Численное моделирование решения смешанной задачи для обобщенного
уравнения Колмогорова .........................................................................................34
§1.3. Численное решение задачи Коши для обобщенного уравнения
неизотропной диффузии ........................................................................................43
§1.4. Численное решение начально-краевой задачи для обобщённого уравнения
неизотропной диффузии ........................................................................................55
§1.5. Моделирование квазислучайных последовательностей для вычисления
многомерных интегралов.......................................................................................69
ГЛАВА II. ЧИСЛЕННОЕ РЕШЕНИЕ УЛЬТРАПАРАБОЛИЧЕСКИХ
УРАВНЕНИЙ С ПОМОЩЬЮ МОДЕЛИРОВАНИЯ СТОХАСТИЧЕСКИХ
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ ...............................................................81
§2.1. Постановка задачи Коши для некоторых ультрапараболических
уравнений и вероятностные представления их решений ...................................81
§2.2. Начально-краевая задача для ультрапараболических уравнений и
вероятностные представления их решений .........................................................88
§2.3. Моделирование Марковских процессов согласованным с вероятностным
представлением.......................................................................................................91
§2.4. Алгоритмы конструирования оценки решения и численные эксприменты
3
...................................................................................................................................94
ГЛАВА III. ЧИСЛЕННОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ РЕШЕНИЙ
НАЧАЛЬНО-КРАЕВЫХ ЗАДАЧ ДЛЯ КВАЗИЛИНЕЙНЫХ ДИФФУЗИОННЫХ
УРАВНЕНИЙ..............................................................................................................99
§3.1. Постановка задачи и вероятностное представление решения задачи......99
§3.2. Моделирование случайного ветвящегося процесса.................................105
§3.3. Доказательство существования и единственности решений ..................113
§3.4. Построение несмещённых и - смещённых оценок решения задачи ..116
§3.5. Вычислительный эксперимент ...................................................................120
§3.6. Обобщение алгоритма на случай полинома произвольного порядка ....122
§3.7. Моделирование решения задачи с полиномиальной нелинейностью с
помощью аппроксимации системой линейных уравнений. .............................126
§3.8. Моделирование решений нелинейных задач методом асинхронных
итераций.................................................................................................................136
ГЛАВА IV. ПРИМЕНЕНИЕ ЛИНЕЙНЫХ И НЕЛИНЕЙНЫХ
ДИФФУЗИОННЫХ УРАВНЕНИЙ В ФИНАНСОВЫХ И УПРАВЛЕНЧЕСКИХ
ЗАДАЧАХ .................................................................................................................145
§4.1. Диффузионные уравнения для оценки стоимости опционов модели
Блэка-Шоулза ........................................................................................................145
§4.2. Диффузионные уравнения для оценки стоимости опционов модели
стохастической волатильности Хестона.............................................................152
§4.3. Ультрапараболические уравнения для оценки стоимости Азиатских
опционов ................................................................................................................156
§4.4. Диффузионные уравнения для многомерные модели ценообразования
опционов ................................................................................................................165
4
§4.5. Численное моделирование и комплекс программ для вероятностных
методов принятия управленческих решений.....................................................170
ЗАКЛЮЧЕНИЕ ........................................................................................................178
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ........................................................................................180
ПРИЛОЖЕНИЯ A....................................................................................................192
ПРИЛОЖЕНИЕ Б.....................................................................................................203
