Введение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
Глава I Вероятностные модели для решения краевых задач для
полулинейных эллиптических уравнений . . . . . . . . . . . . . . . 17
1.1. Решение задачи Дирихле для уравнения Гельмгольца в
линейном случае. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
17
1.2. Вероятностная модель для решения задачи Дирихле для
уравнения Гельмгольца в полулинейном случае. . . . . . . . . . . .
20
1.2.1. Постановка задачи. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
1.2.2. Вероятностное представление решения задачи. . . . . . . . . . . . 22
1.2.3. Случайный ветвящийся процесс, согласованный с
вероятностным представлением . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
27
1.2.4. Построение несмещенной оценки решения . . . . . . . . . . . . . . . 31
1.2.5. Некоторые частные случаи. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
1.2.6. Вычислительный эксперимент . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
1.3. Несмещенная оценка решения задачи Неймана для
полулинейного уравнения Гельмгольца. . . . . . . . . . . . . . . . . .
44
1.3.1. Постановка задачи и интегральное представление решения . . 45
1.3.2. Вероятностное представление решения задачи. . . . . . . . . . . . . 49
1.3.3. Ветвящийся случайный процесс, согласованный с
вероятностным представлением. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
52
1.3.4. Построение несмещенной оценки решения задачи. . . . . . . . . . 55
1.3.5. Вычислительный эксперимент. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
1.3.6. Частный случай:
2
a x c ( )
, m 3. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
63
Выводы по главе I . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68
Глава II Вероятностные модели для решения краевых задач для
полулинейных параболических уравнений. . . . . . . . . . . . . . . .
71
2.1. Несмещенная оценка решения начально-краевой задачи для 4
полулинейного параболического уравнения. . . . . . . . .. . . . . . . 71
2.1.1. Постановка задачи и интегральное представление решения . . 72
2.1.2. Вероятностное представление решения задачи. . . . . . . . . . . . 75
2.1.3. Ветвящийся случайный процесс, согласованный с
вероятностным представлением. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
81
2.1.4. Построение несмещенной оценки решения задачи. . . . . . . . . 87
2.1.5. Некоторые частные случаи. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93
2.1.6. Вычислительный эксперимент . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . 95
2.2. Вероятностная модель для решения задачи Коши для
полулинейного параболического уравнения с переменными
коэффициентами при младших членах. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
99
2.2.1. Соотношение о среднем для параболического уравнения
второго порядка с переменными коэффициентами при
младших членах. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
101
2.2.2. Постановка задачи и интегральное представление решения. . 103
2.2.3. Вероятностное представление решения задачи. . . . . . . . . . . . . 105
2.2.4. Ветвящийся случайный процесс, согласованный с
вероятностным представлением . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
106
2.2.5. Построение несмещенной оценки решения задачи. . . . . . . . . 110
2.2.6. Вычислительный эксперимент . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111
2.3. Несмещенная оценка решения начально-краевой задачи для
полулинейного параболического уравнения с переменными
коэффициентами при младших членах. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
113
2.3.1. Постановка задачи и интегральное представление решения. . 114
2.3.2. Вероятностное представление решения задачи. . . . . . . . . . . . 116
2.3.3. Ветвящийся случайный процесс, согласованный с
вероятностным представлением . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
122
2.3.4. Построение несмещенной оценки решения задачи. . . . . . . . . 127
Выводы по главе II . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1315
Глава III Вероятностные модели для решения краевых задач для
систем уравнений параболического и эллиптического типов .
133
3.1. Векторные алгоритмы метода Монте-Карло. . . . . . . . . . . . . . 133
3.2. Несмещенная и
-смещенная оценки решения задачи
Дирихле для системы эллиптических уравнений. . . . . . . . . .
139
3.2.1. Постановка задачи. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . 140
3.2.2. Преобразование системы и вероятностное представление. . . . 140
3.2.3. Случайный процесс, согласованный с вероятностным
представлением. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . .
143
3.2.4. Построение несмещенной и
- смещенной оценок решения. 144
3.2.5. Оценки решения задачи Дирихле для системы
эллиптических уравнений с переменными коэффициентами. . 147
3.2.6. Вычислительный эксперимент. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149
3.3. Несмещенная и - смещенная оценки начально-краевой
задачи для системы параболических уравнений. . . . . . . . . .
154
3.3.1. Постановка задачи. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154
3.3.2. Вероятностное представление решения задачи. . . . . . . . . . . . 157
3.3.3. Случайный процесс, согласованный с вероятностным
представлением. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
161
3.3.4. Построение несмещенной и
- смещенной оценок решения. 165
3.3.5. Оценки решения задачи для системы уравнений с
переменными коэффициентами. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 168
3.3.6. Вычислительный эксперимент. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 170
Выводы по главе III . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 175
Глава IV Вероятностные модели для решения некоторых прикладных
задач финансовой математики . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 177
4.1. Стохастическая модель рациональной стоимости опциона на
несколько рисковых активов. . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
177
4.1.1. Решение задачи Коши для параболического уравнения с
помощью системы стохастических дифференциальных 6
уравнений . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 177
4.1.2. Рациональная цена опциона МАО на несколько рисковых
активов . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 183
4.1.3. Вычислительный эксперимент. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 185
4.2. Способы понижения дисперсии при оценивании стоимости
погодных опционов. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 189
4.2.1. Основные погодные финансовые инструменты. . . . . . . . . . . . . 190
4.2.2. Стохастическая модель «возвращения к среднему» . . . . . . . . . 193
4.2.3. Моделирование возможных сценариев погоды по методу
Монте-Карло. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ..
196
4.2.4. Способы понижения дисперсии оценки. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 197
4.2.5. Результаты вычислительного эксперимента. . . . . . . . . . . . . . . 200
Выводы по главе IV . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 207
Заключение. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 208
Список использованной литературы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 211
ПРИЛОЖЕНИЕ. Пакет прикладных программ «Вероятностные модели
для решения краевых задач для уравнений второго поряда» . . . . . . . . . .
229
