ВВЕДЕНИЕ.....................................................................................................3
ГЛАВА 1. Приведение оператора энергии системы двух частиц в
двухчастичный оператор Шредингера на решетке...........................................10
1.1 Ограниченные самосопряженное операторы в гильбертовом
пространстве ..............................................................................................................10
1.2 Компактные операторы в гильбертовом пространстве ……..................13
1.3 Гильбертова пространства
[( ) ] 2
d m
и
[( ) ] 2
d m
L
и их важные
подпространства ........................................................................................................15
1.3.1 Подпространства симметрических и антисимметрических функций
......................................................................................................................................16
1.4 Двухчастичные гамильтонианы и приведение их к дискретному
оператору Шредингера .............................................................................................17
1.4.1 Координатное представление двухчастичного гамильтониана ........17
1.4.2 Ограниченность и самосопряженность оператора
ˆ
........................19
1.4.3 Импульсное представление двухчастичного гамильтониана ...........21
1.4.4 Разложение двухчастичного гамильтониана на прямой интеграл фон
Неймана.......................................................................................................................23
1.4.5 Свойства дискретного оператора Шредингера
H(k), d
k ...........26
1.4.6 Спектральные свойство дискретного оператора Шредингера
H(k)
……………………………………………………………………………………….30
Выводы по первой главе.................................................................................35
ГЛАВА 2. Асимптотика дискретного спектра оператора Шредингера на
решетке, соответствующего системе двух частиц на одномерной решетке
………………………………………………………………………………………36
2.1 Дискретный оператор
( ), , 0
1
h
k k
и его существенный
спектр………………………………………………………………………………...362.1.1 Формулировка основных результатов...................................................37
2.1.2 Определитель Фредгольма, ассоциированный оператору
h (k),
1
k ………………………………………………………………………………...40
2.1.3 Доказательство основных результатов..................................................47
2.2 Асимптотики собственного значения оператора Шредингера системы
двух фермионов на одномерной решетке.................................................................50
2.2.1 Существенный спектр и виртуальный уровень оператора
H (k)
………………………………………………………………………………………51
2.2.2 Формулировка основных результатов...................................................54
2.2.3 Доказательство основных результатов..................................................56
Выводы по второй главе..................................................................................64
ГЛАВА 3. Разложение собственного значения дискретного оператора
Шредингера, соответствующего системе двух одинаковых частиц на
двумерной решетке ………………………………………………………….........65
3.1 Дискретный оператор
( ), , > 0
2
h
k k
и его существенный
спектр...........................................................................................................................65
3.2 Формулировка основных результатов......................................................65
3.3 Определитель Фредгольма, ассоциированный оператору
2
h
(k), k
………………………………………………………………………………....69
3.4 Доказательство основных результатов.....................................................75
Выводы по третей главе...................................................................................80
ЗАКЛЮЧЕНИЕ........................................................................................................82
ЛИТЕРАТУРА…………………..………………..………………………..............84
