ВВЕДЕНИЕ ..................................................................................................... 4
ГЛАВА 1. Предварительные сведения. Спектральные свойства
ограниченных операторов .................................................................................... 16
1.1. Краткий обзор известных результатов .................................................. 16
1.2. О пространствах ( ) 2 d l Z и ( ) 2 d L T ......................................................... 24
1.3. Ограниченные самосопряженное операторы в гильбертовом
пространстве……………………………………………………………………….. 31
1.4. Компактные операторы в гильбертовом пространстве ……………... 44
Выводы по главе 1 ......................................................................................... 49
ГЛАВА 2. Двухчастичные операторы Шредингера, соответствующие
системам двух частиц (фермионов) на решетке ............................................... 50
2.1. О спектре двухчастичного оператора Шредингера, соответствующего
системе двух частиц на решетке с короткодействующим потенциалом ............ 50
2.1.1. Координатное и импульсное представления гамильтониана системы
двух частиц (фермионов) на решетке ………………………………………......... 50
2.1.2. Разложение в прямой операторный интеграл ……………………... 54
2.1.3. Формулировка основных результатов ……………………………... 55
2.1.4. Принцип Бирмана-Швингера ……………………………………….. 58
2.1.5. Доказательство основных результатов …………………………….. 67
2.2. О числе собственных значений двухчастичного оператора
Шредингера системы двух частиц с взаимодействием на соседних узлах
решетки ……………………………………………………………………………. 69
2.2.1. Импульсное представление …………………………………………. 69
2.2.2. Существенный спектр и резонанс с нулевой энергией …………… 70
2.2.3. Формулировка основных результатов ……...……………………… 72
2.2.4. Сведения к исследованию нулей определителя Фредгольма …….. 733
2.2.5. Доказательство основных результатов параграфа ………...………. 82
Выводы по главе 2 …………………………………………………………. 88
ГЛАВА 3. Асимптотика для числа собственных значений
трехчастичного оператора Шредингера на решетке ……………………….. 90
3.1. Операторы энергий систем двух и трех одинаковых частиц (бозонов)
на решетке …………………………………………………………………………. 90
3.2. Разложение в прямой интеграл Неймана оператора энергии.
Квазиимпульс и система координат ……………………………………………... 94
3.3. Понятие резонанса с нулевой энергией ……………………………… 97
3.4. Формулировка основных результатов ……………………………… 100
3.5. Спектральные свойства оператора h(k) ……………………………. 102
3.6. Существенный спектр оператора H(K) ……………………………. 112
3.7. Принцип Бирмана-Швингера для оператора H(K) ……………….. 113
3.8. О числе собственных значений оператора H(K) ………………….. 116
Выводы по главе 3 ………………………………………………………... 127
ГЛАВА 4. О существовании и конечности числа собственных
значений трехчастичного оператора Шредингера на решетке …………... 129
4.1. Импульсные представления операторов Шредингера на решетке с
контактным потенциалом ……………………………………………………….. 129
4.2. Формулировка основных результатов ……………………………… 130
4.3. О спектре двухчастичного оператора d hm(k), k ŒT ………………... 136
4.4. Существенный спектр оператора H (K) m …………………………... 144
4.5. Доказательство основных результатов ……………………………... 146
Выводы по главе 4 ………………………………………………………... 159
Заключение ……………………………………………………………………… 160
Литература ……………………………………………………………………… 163
